離婚後も婚姻中の氏を使い続けることはできます(「婚氏続称」)。これを希望する場合、離婚届と同時か、離婚後3ヶ月以内に「離婚の際に称していた氏を称する届出」を出す必要があります。
親権者になるだけでは子どもは自動的にあなたの戸籍に入るわけではありません。子どもをあなたの戸籍に入れるには、家庭裁判所で子の氏の変更許可を得て、入籍届を出す必要があります。たとえあなたが夫の氏を継続して使っていても、この手続きは必要です。